Функция және оның түрлері,оларды есептеп шығару теоремалары

Жоспар

1.Функцияны және оның графигін зерттеу.....................................3

2.Функцияның дөңестігі және ойыстығы. Иілу нүктелері.

   Функция графигінің асимптоталары............................................5

3.Көп айнымалылы функция ұғымы, оның шегі, үздіксіздігі..........6

4.Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және дербес     

   туындылары................................................................................9

5.Екі айнымалылы функцияның экстремумдары...........................11

Қолданған әдебиеттер тізімі........................................................14

                    Функцияны және оның графигін зерттеу

Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады.

у=ƒ(х)функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп аталады, егер х₁<х₂ үшін ƒ(х₁)<ƒ(х₂)(ƒ(х₁)>ƒ(х₂))теңсіздігі орындалса, яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.

Функцияның өсу белгілерін атапөтейік.

1. Егер [а;b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ(x)функциясы өспелі (кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияныңтуындысы теріс емес (оңемес), ягни f΄(x)> 0 (f΄(х)<0).

2.Егер [a;b] кесіндісінде үздіксіз және оныңішінде дифференциалданатын функцияныңоң(теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі (кемиді).

y=f(x) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келгенх₁<х₂ үшінƒ(х₁) ≤ƒ(x₂)(ƒ(х₁)≥f(x₂))теңсіздігі орындалса.

Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.

Егер кез-келген |Δх|≠0 шексіз аз үшін f(x₁+Δx)<f(x₁)теңсіздігі орындалса, онда х₁нүктесі y=f(x)функциясының локальды максимум нүктесі деп аталады. Егер кез-келген |Δх|≠0  шексіз аз үшін f(x₂+Δx)>ƒ(x₂)х₂ теңсіздігі орындалса, онда х₂ ннүктесі у=f(x)функциясының локальды минимум нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум нүктелерідеп аталады.

Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты). Егер y=f(x)функциясыныңх=х₀ нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄(х₀)=0 немесе f(x₀)жоқ.

Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті шарты). y=f(x)функциясы х=х₀ нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы интервалдыңбарлықнүктелерінде дифференциалдансын. Егер х<х₀ болғанда f(x)>0, ал х>х₀ болғанда f(х)<0болса, онда х=х₀ нүктесінде у=f(x)функциясыныңмаксимумы бар. Егер де х<х₀ болғанда f(x)<0, алх>х₀болғанда f(x)>0 болса, онда х=х₀ нүктесінде y=f(x)функциясыныңминимумы бар.

Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты).y=f΄(x)функциясы екі рет дифференциалдансын және f(х₀)=0болсын. Онда х= х₀нүктесінде функцияныңлокальды максимумы бар, егер f"(х₀)<0 және локальды минимумы бар, егерƒ"(х₀)>0болса.

f"(х₀)=0болса, онда х=х₀ нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.

Функцияның   дөңестігі   және   ойыстығы.  Иілу нуктелері.  

                  Функция графигінің асимптоталары.

y=f(x)функциясымен берілген қисық (a; b)интервалында дөңес деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан жоғары жатпаса және (а;b)интервалында ойыс деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан төмен жатпаса.

Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М(х₀, f(x₀))нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы бар деп есептеледі.

Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті шарты). Егер (а;b)интервалының барлық нүктелерінде y=f(x) функциясының екінші туындысы теріс (оң), яғни f"(x)<0 (f"(x)>0)болса, онда y=f(x)қисығы осы интервалда дөңес (ойыс).

Иілу нүктесінде функцияның екінші туындысы өзінің таңбасын өзгертеді, сондықтан ол нөлге айналады немесе жоқ болады.

Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі). Егер х=х₀нүктесінде ƒ"(х₀)=0немесе ƒ"(х₀)жоқ болса және осы нүктеден өткенде f"(x)өзінің таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х₀ болатын нүкте y=f(x)қисығының иілу нүктесі.

L түзуі y=f(x)қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса.

Егер            х=х_i      (і=1,...,п)      нүктелері      бар      болып

lim f(x)= ±∞, болса, онда х= х_i  түзулері у=ƒ(х)қисығының тік

(вертикаль) асимптоталары деп аталады.

Егер                   ƒ(х)          

          k= lim—— , b= lim (ƒ(х)-kх),шектері бар болса, онда

                         х→∞     х             х→∞         

y=kx+b түзлеріy-f(x)қисығының көлбеу асимптоталары деп аталады. (k=0 болғанда, көлденең (горизонталь) асимптотасы).

     Көп айнымалылы функция ұғымы, оның шегі, үздіксіздігі.

Жаратылыстанудың көптеген мәселелерін қарастырғанда, айнымалылар арасында біреуінің бірнеше айнымалыға тәуелді болатын жағдайлары жиі кездеседі. Мәселен, қабырғалары хжәне у болыпкелген төртбұрыштың ауданы х және у айнымалыларыныңмәндері арқылы анықталады, ал қабырғаларының ұзындықтыры х, у, z- тік параллепипедттіңкөлемі х, у және zүш тәуелсіз айнымалылардың мәндеріне байланысты анықталады.

Аныктама 1.АйталықX, Ү және Z- қандай да бір сандықжиындар болсын. Екі айнымалыныңфункциясы деп, хєХ, уєУ, z